Список математических достижений В. Серпинского

Свою первую научную работу Серпинский посвятил теоретико-числовой проблеме, которую сформулировал Вороной в качестве темы для конкурсных студенческих сочинений. В 1904 Серпинский представил сочинение «О суммировании ряда при условии, что представляет число разложений n на сумму квадратов двух целых чисел».

Он был величайшим и наиболее продуктивным польским математиком.

Роткевич

В 1907 ученого заинтересовала теория множеств. Случилось это, когда он увидел теорему, в которой говорилось, что точки плоскости можно определять одной-единственной координатой. Он отправил письмо Банашевичу с вопросом, как такое возможно. Ответ состоял из одного слова: "Кантор".

Серпинский дал найденное им независимо от Кантора доказательство известной теоремы о том, что положение точки на плоскости может быть определено одним действительным числом, из чего следует эквивалентность множеств точек прямой и плоскости и пространств любого числа измерений.

В дальнейшем важные результаты, полученные Серпинским, относятся как к абстрактной теории множеств, так и к ее топологическим приложениям (в связи с исследованием проблемы размерности), а особенно – к проблематике, пограничной между собственно теорией множеств и математической логикой.

Особое значение из них занимает изучение (самим Серпинский, а затем его учениками) обширного класса предложений, эквивалентных небезызвестной континуум-гипотезе Кантора и так называемой аксиоме выбора теории множеств, и геометрических следствий этой аксиомы, носящих зачастую внешне парадоксальный характер.

В 1916 в Москве Серпинский показал свой первый пример абсолютно нормального числа, т. е. числа, в записи которого все цифры равновероятны, в какой бы системе счисления его ни записывать. Борель доказал, что такие числа существуют, а Серпинский первым придумал пример.

Упрощенное доказательство основной теоремы Суслина об А-множествах в 1918 дано Лузиным и Серпинским в их совместной работе «О некоторых свойствах А-множеств». Доказательство основано на разложении множества, дополнительного к А-множеству, на сумму א1 множеств, измеримых В.

Серпинский принимал аксиому выбора и видел в ней полезный метод.

В 1917 он сделал в Московском математическом обществе доклад «Аксиома выбора и ее роль в анализе и теории функций», в котором систематизировал проблемы меры и измеримости по их зависимости от аксиомы Цермело.

Впоследствии он уделял много внимания зависимости утверждений от аксиомы выбора и гипотезы континуума, в начале каждой работы оговаривая наличие или отсутствие этой связи. Многие из упомянутых проблем в дальнейшем стали темами новых исследований Серпинского и его учеников. Это и проблема инвариантности свойств измеримости, непрерывности и свойства Бэра, и связь аксиомы выбора с гипотезой континуума, и исследование множества Лузина.

В 1918 в статье «Аксиоматическое определение В-измеримых множеств» Серпинский показал новый прием в доказательстве существования, названный Лузиным принципом минимума. Этот прием, сочетавший классическое основание с аксиомой Цермело и трансфинитными числами, впоследствии использовали ученики Серпинского.

Еще одной его плодотворной находкой было установление двойственности между мерой и категорией. Известно много теорем о множестве первой категории, которые остаются верными для множеств меры нуль и обратно. В то же время доказательства для первых значительно сложнее. Серпинский высказал гипотезу (которую впоследствии доказал) о существовании взаимно-однозначного соответствия между ними, что позволяло значительно упрощать построения.

с 1920 ученый в основном работал в области теории множеств, но были работы по топологии точечных множеств и функций действительной переменной. Он изучал кривую, позже названную его именем – замкнутую кривую, проходящую через каждую точку квадрата. Длина этой кривой бесконечна, но она ограничивает площадь 5/12 от всего квадрата.

В 1956 году В. Серпинский выпускает книгу " О решении уравнений в целых числах". В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах. Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения, решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел. Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел. Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20-30 лет.

Книга может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.

В 1959 году ученый издает книгу "Пифагоровы Треугольники". В ней в популярной форме даны интересные сведения о пифагоровых треугольниках. Этот раздел элементарной теории чисел интересен для преподавателей средней школы, для студентов педвузов и учеников старших классов средней школы

В 1963 ученый создает книгу "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах". В книге выдающегося польского математика собраны наиболее важные, интересные и доступные широкому кругу читателей результаты, относящиеся к теории простых чисел. Приводятся многочисленные указания на нерешенные проблемы.

Доказательства теорем даются лишь в тех случаях, когда они элементарны и не очень утомительны. В основном книга имеет информационный характер.

В 1966 году В. Серпинский публикует книгу "О теории множеств". Теория множеств является одной из наиболее молодых отраслей математики, но ее элементы стали в настоящее время неотъемлемой частью общего математического образования.

Многие ученые уже давно выражали мнение, что некоторые вопросы теории множеств должны быть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной подготовки.
В настоящей книге читатели найдут те фрагменты теории множеств, которые, по мнению профессора Вацлава Серпинского, могут быть без труда усвоены учащимися старших классов школы или техникума.

Учителя могут использовать эту книгу для кружковых занятий с молодежью, проявляющей особый интерес к математике.

Серпинский в общей сложности написал 724 статей и 50 книг, в основном на польском языке. Среди них Кардинальные и порядковые числа (1958), Введение в общую топологию (1934), Общая топология (1952), Треугольники Пифагора (1954), Элементарная теория чисел (переведенная А. Хуланицким в 1964 г.), основанная на его «Польской Теории Личб» (1914 и 1959)

Термины

Термины, которые ввёл В. Серпинский

Треугольник Серпинского (Салфетка Серпинского)

фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора. опубликовал в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.

Универсальная кривая Серпинского

это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых. Кривая в пределе при полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского, является примером заполняющих пространство кривых.

Треугольная кривая Серпинского

Ковёр Серпинского

фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный в 1916 г.

Пирамида (тетраэдр) Серпинского

фрактал, который является трёхмерной моделью треугольника Серпинского.

Губка Серпинского

является фрактальной кривой. Это трехмерное обобщение одномерного множества Кантора и двумерного ковра Серпинского. Впервые он был описан Карлом Менгером в 1926 году в его исследованиях концепции топологического измерения.

Решетка Серпинского

Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций.

Первый S-континуум Серпинского

Второй S-континуум Серпинского

Число Серпинского

является нечетным натуральным числом к такому, что является композитом для всех натуральных чисел п. В 1960 году Вацлав Серпинский доказал, что существует бесконечно много нечетных целых чисел k, обладающих этим свойством.

Задача Серпинского

она требует значения наименьшего числа Серпинского. В частной переписке с Полом Эрдёшем Селфридж предположил, что 78 557 было наименьшим числом Серпинского. Меньших чисел Серпинского не обнаружено, и сейчас считается, что 78 557 - это наименьшее число.

Константа Серпинского

это математическая константа, обычно обозначаемая как К. Один из способов определить это как следующий предел:

Пространство Серпинского

конечное топологическое пространство с двумя точками, только одна из которых является закрытой. Это наименьший пример топологического пространства, которое не является ни тривиальным, ни дискретным.

Стрела Серпинского

raskraski--uzory--matematicheskie-figury

Фракталы

Фракталы в живой и неживой природе

1. Одним из типичнейших представителем фрактального подводного мира является ко-ралл. В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различа-ют до 350 цветовых оттенков. В строении морской раковины так же хорошо видна структура фрактала.

2. На первый взгляд человек не обладает выраженной фрактальной внешностью. Но стоит заглянуть внутрь – всё встаёт на свои места. Кровеносная, дыхательная, нервная система, сетчатка глаза - вот только самый беглый список биологических фракталов, которые присут-ствуют в каждом человеке.

3. Растения, деревья и травы - обладают выраженной фрактальной формой, в отличие, например от животных. Кроме того, что фрактальную структуру имеет лист растения (про-жилки), общее строение растений также фрактально.

Например, здесь, маленькие листья аналогичны по форме большим, хотя и не являются их точной копией.

4. Структуру фрактала хорошо просматривается в формах горных хребтов, сталактитов и сталагмитов, ну и конечно в кристаллах.

Возьмём, к примеру, снежинки. Эти кристаллики образуются, когда в облаке водяной пар превращается в лёд. По мере роста кристалликов возникают изящные, ажурные узоры.