Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля
участник проекта Тайны натурального ряда чисел
Девятн@шка
Бином Ньютона
Таблица "История бинома Ньютона"
Имя ученого | Страна проживания | Научная работа, в которой рассмотрена формула | название формулы в работе ученого | краткое ее описание | дополнительная информация |
|---|---|---|---|---|---|
Э. Люка (1842 - 1891) | Франция | E. Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques (фр.) // American Journal of Mathematics | теорема Люка | (mn)=∏(mini)k−1i=0(mod p) | Он придумал теорему, в которой приводится утверждение об остатке от деления биномиальных коэффициентов на простые числа в 1878 году. |
Н. Х. Абель (1802-1829) | Норвегия, Финней (Ругаланн) | Abel, N. H. Beweis eines Ausdrucks, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist. (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : журнал. — 1826. — Nr. 1. — S. 159–160. | Биномиальная теорема Абеля | ∑(𝑚𝑘)(𝑤+𝑚−𝑘)𝑚−𝑘−1(𝑧+𝑘)𝑘𝑚𝑘=0=𝑤−1(𝑧+𝑤+𝑚)𝑚 | В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). |
А. Т. Вандермонд (1735 - 1796) | Франция | "Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle" | тождество (Свертка) Вандермонда | (𝑚+𝑛𝑟)=∑(𝑚𝑘)(𝑛𝑟−𝑘)𝑟𝑘=0 | |
Г. В. Лейбниц (1646 - 1716) | Священная Римская Империя | "Новая система природы" | разложение бинома | √𝑦+𝑎𝑚= 𝑦𝑚+𝑚1𝑦𝑚−1𝑎+ 𝑚1∙𝑚−12𝑦𝑚−1𝑎2+⋯ | Позже, в 1697 году, Иоганн Бернулли изучал исчисление этой показательной функции |
И. Ньютон (1642 - 1727) | Королевство Англия | письмо ученому-секретарю Лондонского Королевского общества графу Г. Ольденбургу | разложение бинома | (𝑎−𝑥)𝑐=𝑎𝑐+𝑐𝑎𝑐−1𝑥+𝑐(𝑐−1)2𝑎𝑐−2𝑥2+𝑐(𝑐−1)(𝑐−2)2∙3𝑎𝑐−3𝑥3+⋯ | Это его первое открытие в математике. Он перевел формулы в современный вид. Также, он доказал, что она верна, когда n рациональное или иррациональное, положительное или отрицательное число. |
Б. Паскаль (1623 - 1662) | Франция | «Трактат об арифметическом треугольнике» | треугольная бесконечная числовая таблица биноминальных коэффициентов | В треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним. Строки симметричны относительно вертикальной оси. | числа в этой таблице возникают естественным образом.Этот треугольник вошел в оборот и был назван в его честь. |
Николас Кауфман (1620 - 1687) | Германия | Logarithmotechnia | ряд Меркатора | ln(1+𝑥)=𝑥−𝑥22+𝑥33−⋯ | Он один из первых исследователей бесконечных рядов. |
Н. Тарталья (1499 - 1557) | Венецианская республика | вторая часть "Общего Траттато" | биномиальные расширения | Он знал о треугольнике Паскаля за век до этого ученого. | |
М. Штифель
(1487-1567)
| Германия | труд Arithmetica integra | биномиальный коэффициент | (х + а)n · (х + а) = (х + а)n+ | Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени |
Чжу Шицзе (1249 - 1314) | Китай | «Яшмовое зеркало четырех элементов» | треугольник Паскаля, который назвал “Диаграммой древнего метода”. | В треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним. Строки симметричны относительно вертикальной оси. | В книге решил уравнение высокого порядка с помощью метода «Ling long kai fang». |
Ян Хуэйя (1238 - 1298) | империя Сун | «Сянцзе Цзючжан Суанфа» | Треугольник Паскаля, который
назвал “Треугольник Яна Хуэя”
| В треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним. Строки симметричны относительно вертикальной оси. | Ученый признал, что, его метод с использованием «Треугольника Яна Хуэя» был создан Цзя Сянь , который показал его за 500 лет до Паскаля. |
Ад-Туси (1201 - 1274) | Персия | «Сборник по арифметике с помощью доски и пыли» | предлагает таблицу биномиальных коэффициентов в форме треугольника | В треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним. Строки симметричны относительно вертикальной оси. | в сборнике детально приводит приём извлечения корней любой степени |
Омар Хайям (1048 - 1131) | Сельджукская империя | «Трудности арифметики» | прием извлечения корня любой степени с натуральным показателем с помощью правил (а+b)2 и (a+b)3 | Возможно, он открыл формулу возведения двучлена a+b в степень n. | |
Абу Бакр аль-Караджи
(953 – 1029) | Персия (Иран) | «Книга об алгебре и алмукабале», известная как ал-Фахри | формула бинома | (𝑎+𝑏)𝑛=∑(𝑛𝑘)a𝑘𝑏𝑛−𝑘𝑛𝑘=0. | приводит в своём сочинении таблицу биномиальных коэффициентов, принцип их аддитивного порождения и формулу бинома |
Бхаскар (1114 - 1185) | Индия | трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения») книга “Лилавати" | число сочетаний из n объектов по k | n! / (n - k)!k! | дает правила для отыскания числа перестановок и сочетаний нескольких предметов, причем рассматривает случай, когда в этих перестановках есть повторяющиеся элементы |
Халаюдх(ок. X в.) | Индия | комментарий к «Чандас-шастра» | треугольник Паскаля, который назвал “Мэрупрастара ” | В треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним. Строки симметричны относительно вертикальной оси. | Его изложение подобно биному Ньютона и включает понятие треугольник Паскаля |
Ачарья Пингала
(II век до н. э.) | Индия, Империя Маурьев | Чандас- шастра (также называемой Пингала-сутра) — трактат на санскрите о стихосложении | Первый, кто упомянул о треугольной последовательности | 1-ое известное описание 2-ичной системы счисления в связи с систематическим перечислением счетчиков с фиксированными комбинациями коротких и длинных слогов. | |
Диофант Александрийский (210 - 290) | Египет | «Арифметика» | квадрат суммы, квадрат разности и разности квадратов | (a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b
(a−b)(a+b)=a2−b2 | его формулы обозреваются уже с арифметической точки зрения. |
Евклид
(III век до н. э.) | Греция | «Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) | Квадрат суммы | частный случай для показателя 2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 | доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений геометрически. |
Пифагор Самосский (570 - 490 гг. до н. э.) | Греция | «Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) | квадрат суммы и квадрат разности | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 | определил общие утверждения о тождественном преобразовании многочленов |
Ответы на вопросы
Бино́м Нью́то́на — это формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных.
Почему же формула бинома носит имя И. Ньютона?
Историки считают, что данная формула для целых положительных показателей была известна задолго до Ньютона. Но, как мы видим, названа она именно в честь него. Это связано с тем, что он обобщил формулу в 17 веке и указал возможность распространения этого разложения для дробных и отрицательных показателей.
Верно ли исторически название «Бином Ньютона»?
С исторической точки зрения, это название неверно, т. к. Ньютон внес свой вклад в усовершенствование этой формулы, но никак не был её первооткрывателем. Многие учёные, такие, как аль-Каши и Штифель, выводили эту формулу в своих трудах раньше Ньютона.
Почему формулу бинома в разных странах называют по-разному?
В разных странах мира формулу бинома Ньютона называют по-разному в связи с желаниями людей. Мы не можем менять язык искусственно, поэтому годами люди сами "коверкали" название, как им будет удобнее. Так и получились нынешние названия.
-
биномиальная теорема(teorema binomial, индонезийский)
-
биномиальная формула ньютона (formule du binôme de Newton, французский)
-
биномиалы (Binomialsatsen, испанский)
-
биномиальный урок (binomni poučak, боснийский)
-
формула бинома (Binomo formulė, эсперанто)
-
двойное правило (Tvíliðuregla, исландский)
Применение формулы бинома Ньютона
Задача 1
Возведите в степень: (u - v)5.
Решение
У нас есть (a + b)n, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u - v)5 = [u + (-v)]5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 - 5u4v + 10u3v2 - 10u2v3 + 5uv4 - v5.
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.
Задача 2
Тяга воздушного винта и потребляемая им мощность вычисляются по формулам: P=apn2sD4 N=bpn3sD5
Где D-диаметр винта; ns-число оборотов винта в секунду, p- плотность воздуха , a и b – коэффициенты зависящие от конструкции винта.
При ремонте винта для удаления с его концов царапин и зазубрин пришлось уменьшить его диаметр на величину ∆D, которая значительно меньше диаметра D.
Определить, на сколько снизилась тяга этого винта и потребляемая им Мощность при тех же секундных оборотах, если полагать все остальные параметры, входящие в формулы, неизменными.
Решение:
Пусть Q2=Q1+ ∆Q, T2=T1-∆T, где ∆T-искомое уменьшение долговечности.
Тогда T1/T1-∆T =(Q1+∆Q/Q1)9 = (1+∆Q/Q1)9
откуда ∆T= T1[1- 1/(1+∆Q/Q1)9] = T1[1-1/1 +9∆Q/Q1 +36(∆Q/Q1)2 +82(∆Q/Q1)3 +126(∆Q/Q1)4 +126(∆Q/Q1)5 +82(∆Q/Q1)6 +36(∆Q/Q1)7 +9(∆Q/Q1)8 +(∆Q/Q1)9]
Если ∆Q/Q1<<1 формула может быть упрощена, так как степени ∆Q/Q1 выше первой очень малы. В Этом случае ∆T≈T1(1-1/1+9∆Q/Q1)= 9T1 *∆Q/Q1 /1+9∆Q/Q1
Задача 3
Газ сжимается в сосуде, стенки которого хорошо проводят тепло. При этом абсолютная температура и давление газа связаны следующим уравнением:
p2/p1=(T2/T1)n/n-1
где п= 1,2—показатель политропы; р1 и р2 — соответственно давления первого и второго состояния; T1и T2— соответственно абсолютные температуры первого и второго состояния.
Температура в сосуде измеряется посредством помещенной в нем термопары. Пусть во втором состоянии при сжатии температура получила небольшое приращение ∆t = 5° против первого состояния. Определить, какое приращение получило при этом давление. Температура Т1 = 300° и давление р1 = 2 кГ/см2 — первого состояния известны.
Решение:
Подставляя значения T2 и p2 в формулу, получаем:
p1+∆p/p1 = (T1+∆t/T1)1.2/1.2-1=
(1+∆t/T1)6=1+6+∆t/T1+15(∆t/T1)2+20(∆t/T1)3+6(∆t/T1)5+(∆t/T1)6
Так как ∆t<<T1 ,то ∆t/T1<<1, следовательно, все степени ∆t/T1 выше первой малы сравнительно с единицей и ими можно пренебречь без ущерба для точности расчета. Тогда p1+∆p/p1 = 1+∆p/p1≈1+∆t/T1 , откуда
∆p≈6 p1/T1 *∆t= 6* 2/300 *5 = 0.2 кГ/ см2
Задача 4
Известно, что Т1—долговечность вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью, при приложении к нему поперечной нагрузки , равной Q1. Определить, на сколько уменьшится долговечность вала, если нагрузка увеличится на ∆Q. Зависимость между нагрузкой и долговечностью устанавливается формулой: T1/T2=(Q2/Q1)9
Решение:
Пусть Q2=Q1+ ∆Q, T2=T1-∆T, где ∆T-искомое уменьшение долговечности.
Тогда T1/T1-∆T =(Q1+∆Q/Q1)9= (1+∆Q/Q1)9
откуда ∆T= T1[1- 1/(1+∆Q/Q1)9]=T1[1-1/1+9∆Q/Q1+36(∆Q/Q1)2+82(∆Q/Q1)3+126(∆Q/Q1)4+126(∆Q/Q1)5+82(∆Q/Q1)6+36(∆Q/Q1)7+9(∆Q/Q1)8+(∆Q/Q1)9]
Если ∆Q/Q1<<1 формула может быть упрощена, так как степени ∆Q/Q1 выше первой очень малы. В Этом случае ∆T≈T1(1-1/1+9∆Q/Q1)= 9T1 *∆Q/Q1 /1+9∆Q/Q1
Задача 5
Усилие в ходовом конце каната полиспаста: P=kn(k-1)*Q/ kn-1
где Q—вес поднимаемого груза; k= 1,02 — коэффициент сопротивления блока; n — число ветвей полиспаста. Вывести упрощенную формулу для вычисления Р и, применив ее, определить Р, если Q = 1500 кГ и п = 5.
Решение:
P=1.02n(1.02-1)Q/1.02n-1=1.02n*0.02*Q/(1+0.02)n-1=
1.02n*0.02*Q/1+n*1*0.02+n(n-1)/2 * 1*0.022….0.02n-1
Заметим, что 0.022=0.0004; 0.023=0.000008 и т.д.
Видно, что члены разложения по формуле Ньютона быстро убывают. Для практики достаточно учесть первые 3 числа разложения, пренебрегая следующими. Тогда получаем:
P≈1.02n *0.02*Q/n*0.02+n(n-1)/2 *0.622 = 1.02n*Q/n[1+(n-1)0.01]
Использование этой приближенной формулы обеспечит точность и простоту в расчетах, так как в ней нет высоких степеней, близких величин (kn-1)n имеющихся в точной формуле и крайне не удобных для расчетов.
Для нас получаем : P=1.025*1500/5[1+(5-1)*0.01]≈ 318 кГ
.png)
